Matematică recreativă

Matematică recreativă
Cu puţine calcule...
Trântorul şi dracul
Printre noi, oameni cu dragoste de muncă, s-a aciuat un trântor, care nu voia nici să înveţe şi nici să muncească, dar era lacom de bani. Nu voia nicicum să înţeleagă că numai banii câştigaţi prin muncă cinstită aduc mulţumire. Trântorul umbla hai-hui şi se văicărea!
Vai de zilişoarele mele! Nimeni nu vrea să ştie de mine! Toţi îmi spun: „N-avem nevoie de trântori. Nu faci nimic şi ne mai ţii şi de vorbă. Du-te de aici!”. Aş vrea să-l văd şi eu pe ăla care o să-mi spună cum să devin bogat?!
N-apucă trântorul să-şi termine gândul, că înaintea lui se şi ivi un drăcuşor.
Apoi, - spuse drăcuşorul, - dacă vrei, am să te ajut. Munca va fi uşoară şi te vei îmbogăţi. Vezi puntea aceea peste pârâu?
O văd, - răspunse trântorul.
Atunci, n-ai decât să treci puntea pe malul celălalt şi vei avea în buzunar de două ori mai mulţi bani decât ai acum. Dacă treci puntea înapoi, vei avea iarăşi de două ori mai mulţi bani decât ai avut. Şi aşa, de fiecare dată când vei trece puntea, vei avea de două ori mai mulţi bani decât ai avut.
Minunat! - se bucură trântorul.
Lucrurile se vor petrece cum ţi-am spus, - adăugă dracul - dar trebuie să-mi dai şi mie ceva. Pentru că te-am făcut om bogat, de fiecare dată când treci puntea ai să-mi dai 24 de bănuţi pentru sfatul meu cel bun.
Mă învoiesc, - răspunse trântorul. Din moment ce banii mei se vor dubla, de ce să nu-ţi dau de fiecare dată câte 24 de bănuţi? Hai, să începem!
Trecu trântorul puntea o dată şi numără banii... Mare minune! într-adevăr, avea de două ori mai mulţi bani decât avusese. Dădu dracului cei 24 de bănuţi şi trecu puntea a doua oară. Banii s-au dublat iarăşi. Numără 24 de bănuţi, îi dădu dracului şi trecu puntea pentru a treia oară. Banii s-au dublat iarăşi. Numai că avea exact 24 de bănuţi, pe care a trebuit să-i dea drăcuşorului, după cum le-a fost vorba.
Dracul izbucni în râs şi se făcu nevăzut. Trântorul nostru rămase fără un ban. De unde se vede că afară de sfaturile altora trebuie să ai şi puţină minte proprie! Câţi bani a avut trântorul la început?
Datorită unor analogii greşite, putem săvârşi deseori grave erori...
Unele concluzii şi chiar descoperiri se fac prin analogie, la baza căreia stă presupunerea că dacă unele din însuşirile sau caracteristicile a două obiecte sunt asemănătoare, identitatea rămâne valabilă şi pentru alte însuşiri ale obiectelor respective. Analogia însă nu demonstrează nimic. Ea nu ne poate da decât o idee, a cărei justeţe trebuie controlată şi confirmată. Şi în matematică pot fi făcute analogii reuşite.
Este clar că descoperirea oricărei asemănări în operaţiunile matematice, în aplicarea regulilor etc, uşurează rezolvarea problemelor, ajută gândirea.
Relevând proprietăţile şi caracteristicile asemănătoare, să nu uităm însă că există şi deosebiri. Analogiile nereuşite generează reprezentări eronate.
Uneori întrebăm un prieten:
Cu câte unităţi este mai mare 40 decât 32?
Cu 8, - răspunde acesta imediat.
Dar cu câte unităţi este mai mic 32 decât 40?
Desigur tot cu 8 unităţi.
Exact. Acum, gândeşte-te, cu câte procente este mai mare numărul 40 decât numărul 32? De altfel, nu te obosi! îţi voi spune eu. Exact cu 25%. Dar hai să calculăm cu câte procente este mai mic numărul 32 decât 40?
Ce să mai calculăm, - ne întrerupe prietenul, - mi-ai spus doar chiar acum că 40 este cu 25% mai mare decât 32, deci 32 este tot cu 25% mai mic decât 40 ...
Trebuie să-i explicăm amănunţit în ce constă eroarea lui.

Dar multă ingeniozitate...
Cutia enigmatică
Mihai a fost vara aceasta la mare şi i-a adus de acolo un dar surioarei sale mai mici - Ina: o frumoasă cutiuţă împodobită cu 36 de scoici. Pe capacul cutiei erau săpate câteva linii care împart capacul în 8 secţiuni. Ina nu merge încă la şcoală, dar ştie să socotească până la 10.
Cadoul lui Mihai îi place mult prin faptul că de-a lungul fiecărei laturi a capacului sunt aşezate exact câte 10 scoici. Când numără scoicile aflate de-a lungul unei laturi, Ina le socoteşte pe toate câte se găsesc în secţiunile care formează latura respectivă.Scoicile aflate în secţiunile de la colţuri intră în socoteala atât a laturii verticale, cât şi a celei orizontale.
Într-o zi, ştergând cutia cu o cârpă, din nebăgare de seamă, mama a spart 4 scoici. Acum la numărătoare nu mai rezultau 10 scoici de-a lungul fiecărei laturi a capacului.
Când o să se întoarcă de la grădiniţă, Ina o să se necăjească.
- Lasă mamă, - spuse Mihai, le aranjez eu în aşa fel, încât Ina nu va observa nimic.
El dezlipi cu atenţie o parte din cele 32 de scoici rămase şi le lipi din nou cu atâta iscusinţă pe capacul cutiei, încât de-a lungul fiecărei laturi se găseau din nou câte 10 scoici.
Peste câteva zile altă boroboaţă! Cutia căzu de pe masă şi s-au spart încă 6 scoici - au rămas doar 26. Dar şi de data aceasta Mihai izbuti să aşeze în aşa fel cele 26 de scoici rămase, că de-a lungul fiecărei laturi Ina să poată număra, ca şi până acum, câte 10 scoici. E drept că, în ultimul caz, scoicile n-au mai putut fi aranjate pe capacul cutiei tot atât de simetric ca până atunci. Ina nu a băgat însă de seamă acest lucru.
Găsiţi ambele soluţii ale lui Mihai.
Încercaţi să cântăriţi!
Un pachet conţine 9 kg de cartofi. Încercaţi, cu ajutorul unui cântar cu talere, care are numai 2 greutăţi - una de 50 g şi alta de 200 g - să împărţiţi întreaga cantitate de cartofi în 2 pachete: unul de 2 kg, iar celălalt de 7 kg. Se admit numai 3 cântăriri.
Gândiţi-vă puţin!
Într-un coş sunt 5 mere. Cum trebuie împărţite aceste mere la 5 fetiţe, în aşa fel încât fiecare să capete câte un măr, iar în coş să mai rămână unul?

prof. Barbu Sanda
Liceul Teoretic Ion Creangă-Tulcea