Problematizarea şi învăţarea prin descoperire în matematică

Problematizarea şi învăţarea prin descoperire în matematică
Aurora Olivia Mironescu
Colegiul de Industrie Alimentară ”Elena Doamna”, Galați

Predarea şi învăţarea prin problematizare şi descoperire presupun utilizarea unor astfel de tehnici care să producă în mintea elevului conştientizarea conflictului dintre informaţia existentă şi o nouă informaţie, între diferite niveluri de cunoaştere şi lichidarea acestui conflict să ducă la descoperirea a noi proprietăţi ale obiectului studiat.
Aceste stări conflictuale se numesc în pedagogie situaţii-problemă şi pot fi de mai multe tipuri:
• contradicţii între posibilităţile existente ale elevului şi cerinţele în care e pus de noua problemă;
• necesitatea selectării din cunoştinţele sale anterioare pe acelea cu valoare operaţională;
• integrarea noţiunilor selectate într-un sistem şi conştientizarea că acest sistem este ineficient operaţional şi pretinde completarea informaţiei.
Problematizarea are o sferă de existenţă comună cu conversaţia euristică. Întrebările
frontale sau individuale utilizate în etapa de pregătire a introducerii unei noţiuni sau chiar în etapa prezentării materialului nou, întrebări care se adresează gândirii sau raţionamentului, determină situaţii conflictuale.
Organizarea acelor situaţii-problemă trebuie să fie astfel încât întrebările să apară în mintea elevului fără ca acestea să fie formulate de profesor.
Dintre ideile care se vehiculează astăzi în ceea ce priveşte predarea şi învăţarea prin problematizare la matematică, sunt de reţinut cele ale pedagogului matematician G. Polya. El consideră că scopul predării matematicii este de a-i face pe tineri să gândească şi mijlocul îl reprezintă rezolvarea de către elevi a problemelor care cer un anumit grad de creaţie, de nerutinare. Relativ la condiţiile pedagogice pe care trebuie să le îndeplinească problema sunt:
• să aibă sens şi să fie adresată în cel mai potrivit moment din punctul de vedere al elevului;
• să ţină seama de cunoştinţele anterioare ale elevilor, să trezească interesul, să fie clar
enunţată, să solicite efort din partea elevilor.
Problematizarea, privită prin rezolvări de probleme, se regăseşte şi în concepţia lui Robert Gagné [1].Acesta arată că rezolvarea de probleme poate fi privită ca un proces prin care elevul descoperă că o combinaţie de reguli învăţate anterior, o poate aplica pentru a ajunge la o soluţie referitoare la o nouă situaţie problematică. În concepţia lui R. Gagné, evenimentele implicate în rezolvarea de probleme sunt:
• prezenterea problemei ( verbal, scris, printr-un enunţ cursiv, tabel, grafic etc.)
• elevul defineşte problema, adică distinge caracteristicile esenţiale ale situaţiei, îşi
însuşeşte enunţul, găseşte legătura între date;
• elevul îşi formulează ipoteze care pot fi aplicate în vederea unei soluţii;
• realizează verificarea ipotezelor sau a câtorva ipoteze succesive, până găseşte una care
să-l ducă la soluţia căutată.
Expresia „rezolvarea de probleme” este folosită peste tot unde este vorba de găsire de soluţii la probleme noi şi nu la acelea în care se substituie valori numerice în diferite expresii matematice sau acele probleme de calcul date pentru formarea deprinderilor de calcul.
Predarea matematicii în liceu ridică delicate chestiuni de metodica finalizării cunoştinţelor. Rezolvarea oricărei probleme trebuie precedată de crearea unei atmosfere de curiozitate şi interes din partea elevilor, iar profesorii nu pot fi insensibili la observarea stării elevilor în timpul căutării soluţiei. Descoperirea în matematică este un proces asociat efortului de simplificare şi clarificare a lucrurilor. De aceea după rezolvarea fiecărei probleme trebuie analizată şi motivată rezolvarea ei etapă cu etapă, căutând sublinierea cunoştinţelor care erau necesare în trecerea de la o etapă la alta. De asemenea sunt utile şi alte căi de rezolvare, comparându-le din punctul de vedere al complexităţii raţionamentului sau calculelor.
La rezolvarea problemelor există anumite lucruri de care, dacă se ţine seama, se măresc şansele de succes [2]:
1. Enunţul problemei trebuie citit de cel puţin două ori, chiar şi după ce s-a obţinut rezolvarea.
Trebuie verificat dacă s-au folosit toate condiţiile din enunţ pentru că adeseori elevii neglijează o parte din ipoteze considerându-le inutile şi ajug la concluzie prin raţionamente greşite sau defectuoase;
2. Este utilă o consultare a manualelor şi culegerilor pentru o eventuală împrospătare a unor
aspecte;
3. Dacă problema permite, este bine să se realizeze mai întâi un desen. Sugestiile desenului nu ţin loc de demonstraţie, ele trebuie testate printr-un raţionament analitic sau sintetic;
4. Dacă, în ciuda efortului depus, problema nu poate fi rezolvată, este bine să se discute cu o
altă persoană (coleg), exprimându-se încercarea de rezolvare. S-ar putea ca în cursul discuţiei să se găsească rezolvarea sau o eventuală greşeală de raţionament. Căutând să-i explici altcuiva un lucru eşti obligat să-l explicitezi mai mult decât o faci când lucrezi numai pentru tine. Chiar dacă sugestia colegului, dacă există, conduce la soluţie, este bine să se reparcurgă totul personal. Numai cu un astfel de efort se încorporează cu adevărat în experienţa noastră intelectuală.
5. Dacă nici consultarea cărţilor, nici discuţiile cu colegii nu au fost suficiente pentru a rezolva problema, ar trebui întrebată o persoană calificată (profesor). Nu ar trebui să ne fie ruşine să întrebăm; exerciţiul întrebărilor este foarte util, deoarece ajută la conştientizarea naturii punctului mort, a dificultăţii care a produs blocarea.
6. În redactarea soluţiei este bine să ne imaginăm că interlocutorul este un coleg căruia i-o
explici şi trebuie să ne asigurăm că fiecare verigă a raţionamentului este prezentată cu grijă şi claritate, în aşa fel încât să rezulte ideea de ansamblu. Este bine să ne ferim (la un examen) de expresii ca „este evident că” sau „ se vede uşor că”; candidatul la un examen trebuie să facă dovada pregătirii sale.
Teama (sau ruşinea) de a pune o întrebare la vreme poate avea consecinţe ireversibile. Faptul de a nu înţelege ce se predă nu trebuie să ne sperie. Până la un punct, este normal acest lucru; matematica cere reflecţie, iar densitatea ei logică depăşeşte de multe ori posibilităţile atenţiei faţă de o expunere orală. Important este să se realizeze o înţelegere de ansamblu, în linii mari, să se înţeleagă problemele şi obiectivele urmărite, urmând ca unele detalii tehnice să fie elucidate la o lectură ulterioară. Din momentul în care reuşim să delimităm, într-un text, partea neelucidată, principala dificultate a fost depăşită.
Ar trebui să încercăm să răspundem la următoarele întrebări [3]:
1. Ce fel de probleme trebuie rezolvate în clasă?
2. Cum şi cât să-i ajutăm pe elevi, ce întrebări să le fie puse?
3. Ce teme să fie date pentru acasă?
1. De la început trebuie făcută distincţia între exerciţiile care au rolul de a fixa unele
cunoştinţe teoretice şi a reformula enunţul unor teoreme generale în cazuri concrete, pe de o parte şi probleme mai complexe, în care teoria nu se aplică direct ci în cursul unei adevărate activităţi de creaţie. În orice caz, la clasă trebuie evitată „metoda rezolvării cât mai multor probleme” care adeseori nu este cea mai raţională, mai ales dacă alegerea problemelor este întâmplătoare; se impune o corelare justă între cantitatea de probleme, fondul real al acestora, evaluarea timpului şi capacităţii elevilor. Este bună recurgerea la o figură convenabilă, o interpretare geometrică, analiza unor situaţii particulare, abordarea mai multor metode.
2. Se subînţelege că profesorul trebuie să-l ajute mult pe elev şi aceasta cere timp, pasiune,
experienţă şi pregătire. Scopul principal nu este să rezolvăm problema în locul elevului, ci să-l ajutăm să o rezolve singur, să dobândească o experienţă cât mai mare de muncă independentă. Adeseori, elevul nu poate progresa dacă este lăsat singur sau dacă este ajutat prea puţin; dar rezultatul este acelaşi şi în cazul când îl ajutăm prea mult şi el nu mai are nimic de făcut. Dozarea este aici decisivă. Pentru a dezvolta interesul elevului astfel încât el să devină capabil de a avea o atitudine activă în rezolvarea problemelor, este bine ca profesorul să se pună în locul acestuia, să afle ce se întâmplă în mintea lui şi să vadă cu ce întrebări poate să înceapă şi să continue ajutorul pe care i-l poate da.
Nu trebuie uitat cât de important este să ştim să ne comunicăm rezultatele muncii, făcându-le cunoscute printr-o redactare corespunzătoare, iar acest fapt se poate educa începând încă din şcoală.
3. Manualele şi culegerile de probleme existente oferă posibilităţi mari de selectare a
problemelor pentru temele de casă. Acestea din urmă trebuie să răspundă anumitor cerinţe:
• să fie gradate din punctul de vedere al dificultăţilor;
• să folosească cât mai multe cunoştinţe din lecţia respectivă sau din lecţiile anterioare;
• să creeze imaginea unei angajări intelectuale a elevului;
• să fie într-o continuitate firească cu ce s-a lucrat în clasă, punând accent pe revedere, pe reproducere, dar şi pe activităţi creatoare ale rezolvitorilor;
• să răpească elevului atâta timp cât este necesar ca el să lucreze cu plăcere; trebuie să evităm supraîncărcarea inutilă a acestuia.
Aspecte metodice ale rezolvării temelor pentru acasă
O chestiune importantă pentru profesorii de matematică este răspunsul la întrebarea: cum ajung elevii să ştie să rezolve probleme acasă? Adeseori elevii ajung repede la concluzia:” nu ştiu să rezolv problema”, trecând rapid peste familiarizarea cu subiectul respectiv şi cu întrebarea: ”de unde să încep”. Sarcina de bază rămâne aici tot în seama profesorului. El trebuie să-şi găsească timp şi modalităţi de a-şi lămuri elevii asupra etapelor pe care le au de parcurs. Aceste etape trebuie să fie în esenţă aceleaşi ca şi la rezolvările făcute în clasă, deci în clasă trebuie insistat nu numai asupra soluţiei dar şi asupra modului în care s-a ajuns acolo. În clasă trebuie făcută familiarizarea cu problema, recitind, comentând şi reformulând eventual enunţul. De asemenea este instructivă separarea diverselor etape, degajarea unui plan de scindare a întregului, izolând părţile principale şi îndeosebi, ipoteza şi concluzia.
Bineînţeles, elevii nu vor putea rezolva probleme dacă ei ignoră definiţiile, teoremele, axiomele sau neglijează cunoştinţele legate de datele problemelor. Din fiecare detaliu ei pot descoperi înţelesuri noi, apropiindu-i de concluzie şi făcând să apară „ideile salvatoare”, care le arată drumul spre soluţie.
Redactarea soluţiilor trebuie făcută astfel încât să se justifice fiecare afirmaţie, cu simţ estetic, dar şi cu grija verificării rezultatului obţinut.
Trebuie atrasă atenţia elevilor că în multe cazuri soluţia nu este unică şi că există căi de acces diferite spre rezolvare (ceea ce este neinhibitor pentru rezolvitor). Căutarea acestora nu este un scop în sine, ci răspunde unor importante sarcini instructive- privire a unei aceleeaşi situaţii din unghiuri de vedere diferite, posibilitate de comparare a unor metode distincte de rezolvare (după dificultate, după lungimea prezentării, după capacitatea de generalizare), şi nu în ultimul rând, oferă o excelentă şansă de verificare a corectitudinii rezultatelor obţinute (în special în cazul problemelor la care se cere un răspuns concret) şi implicit o creştere a încrederii în utilizarea instrumentului matematic [3].

Bibliografie

1. Rus Ileana, Varna Doina, Metodica predării matematicii, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983;
2. Udrişte Constantin, Dogaru Oltin, Cojocaru Alexandru, Comentarii matematice, Editura Politehnica, Bucureşti, 1995;
3. A. Catană, M. Săcuiu, O. Stănăşilă, Metodica predării analizei matematice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983;