Rezolvarea unor probleme cu ajutorul ecuaţiilor şi inecuaţiilor

Rezolvarea unor probleme cu ajutorul ecuaţiilor şi inecuaţiilor

1. Suma a trei numere pare consecutive este 1206. Aflaţi numerele.
Răspuns: 400, 402, 404.

2. Suma a două numere este 67 iar diferenţa lor este 23. Aflaţi numerele.
Răspuns: 45, 22.

3. Determinaţi patru numere întregi, impare consecutive ştiind că suma lor este 400.
Soluţie: x - nr. cel mic, atunci x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 400 x = 97

4. Suma dintre un număr şi triplul lui este 1024. Aflaţi numărul.
Soluţie: x + 3x = 1024 x = 256

5. Într-o clasă numărul fetelor este de 2 ori mai mic decât al băieţilor. Dacă ar pleca 6 băieţi şi 6 fete atunci numărul băieţilor va fi de 4 ori mai mare decât al fetelor. Câţi băieţi şi câte fete sunt în clasă?
Soluţie: 2f – 6 = 4(f – 6) unde f - nr. fetelor f = 9

6. Aflaţi două numere ştiind că suma lor este 67 şi împărţind primul la al doilea obţinem câtul 4 şi restul 7.
Soluţie: Fie a, b cele două numere.
a + b = 67 , a = 4 b + 7 , de unde b = 12 , a = 55

7. Tatăl are în prezent 28 de ani iar fiul său 4 ani. Peste câţi ani vârsta tatălui va fi de 3 ori mai mare decât vârsta fiului.
Soluţie: Fie x nr. de ani cerut (28 + x) = 3 (4 + x) x = 8

8. Într-o clasă sunt 33 de elevi, băieţi şi fete. Dacă în clasă mai vin 2 fete şi pleacă 5 băieţi atunci numărul fetelor devine egal cu dublul numărului băieţilor. Aflaţi câte fete şi câţi băieţi sunt în clasă.
Soluţie: f - nr. fete , b – nr.băieţi
f + b = 33 f + 2 = 2(b - 5) de unde b = 15 , f = 18

9. Diferenţa a două numere este 39. Dacă împărţim numerele obţinem câtul 8 şi restul 4. Aflaţi numerele.
Soluţie: Fie a , b cele două numere.
a – b = 39 , a = 8 b + 4 de unde b = 5 , a = 44

10. Un produs se scumpeşte prima dată cu 20% iar apoi se scumpeşte din nou cu 30%, ajungând să coste în final 312 lei. Aflaţi preţul iniţial al obiectului.
Soluţie: Fie x preţul iniţial
= 312 , de unde x = 200 lei

11. Un tricou costă 80 lei. Tricoul se scumpeşte cu 10%. Cât costă tricoul după scumpire?
Răspuns: 88 lei

12. Produsul a două numere este 40. Dacă se măreşte primul număr cu 5 produsul devine
90. Aflaţi numerele.
Soluţie: x ∙ y = 40 (x + 5) ∙ y = 90 de unde y = 10 , x = 4

13. Un elev a citit o carte în patru zile. În prima zi a citit 25% din numărul total de pagini. În a doua zi 50% din restul de pagini, în a treia zi din noul rest iar în a patra zi restul de 45 de pagini. Aflaţi numărul de pagini.
Soluţie: Fie x nr total de pagini
I zi , restul
II zi din
Calculăm noul rest:
III zi din
Alcătuim ecuaţia: de unde x = 200

14. Suma a două numere este 54. Dacă împărţim primul număr la 2, iar pe al doilea la 5 obţinem două numere a căror sumă este 21. Aflaţi cele două numere.
Soluţie: notăm cu x primul număr
, de unde x = 34

15. Ce preţ trebuie să aibă un produs la vânzare ca statul să câştige prin TVA cel puţin 250 lei? (TVA – taxa pe valoarea adăugată care este 24%).
Soluţie: Fie x preţul produsului

16. O bancă oferă pentru depozitele pe un an o dobândă de 10%. Calculaţi suma minimă pe care trebuie să o depună un client astfel ca peste doi ani să poată retrage 5000 lei.
Soluţie: x – suma depusă, atunci lei

17. După o reducere cu 25% preţul unui produs este de 120 lei. Aflaţi preţul iniţial al obiectului.
Soluţie: Fie x preţul produsului
lei

18. Un camion poate transporta 500 de cărămizi. Câte drumuri ar trebui să facă pentru a transporta 22800 de cărămizi?
Soluţie:
Răspuns 46 de drumuri

19. Să se afle două numere, ştiind că împărţind pe unul la celălalt se obţine câtul 6 şi restul 15 iar diferenţa lor este 110. Aflaţi numerele.
Soluţie: Fie a , b cele două numere
a = 6 b + 15 , a – b = 110 de unde b = 19 iar a = 129

20. Raportul a două numere este . Dacă mărim primul număr cu 9 şi îl micşorăm pe al doilea cu 10, primul număr astfel obţinut este cu 1 mai mare decât cel de-al doilea. Să se afle numerele.
Soluţie: a + 9 = (b - 10) + 1 de unde a = 36 , b = 54

21. Roata din faţă a unei trăsuri are lungimea circumferinţei de 1,5 m iar cea din spate de 2 m. Să se afle distanţa parcursă de trăsură ştiind că pe această distanţă roata din faţă a făcut cu 150 de rotaţii mai mult decât roata din spate.
Soluţie: Notăm cu x distanţa. Nr. de rotaţii ale roţii din spate este iar ale roţii din faţă este .Cele două roţi parcurg aceeaşi distanţă, deci m.

22. Deplasându-se pe un fluviu, în sensul cursului, o barcă cu motor parcurge distanţa dintre două porturi în 13 ore şi 30 minute. Aceeaşi distanţă însă împotriva curentului, o parcurge în 18 ore. Să se afle în câte ore va străbate distanţa dintre cele două porturi o bărcuţă de hârtie care pluteşte pe apă.
Soluţie: Notăm cu x viteza bărcii cu motor în apă stătătoare şi cu y viteza apei.
Barca cu motor se deplasează împotriva curentului apei cu viteza x – y, parcurge distanţa 18(x - y) iar în sensul apei are viteza x + y şi parcurge distanţa . Avem ecuaţia de unde x = 7 y , deci viteza bărcii este de 7 ori mai mare ca viteza apei.
Barca cu motor se deplasează în sensul apei cu o viteză egală cu 8y, adică de 8 ori mai mare ca viteza apei. Deci distanţa pe care o parcurge bărcuţa de hârtie este într-un timp de ore.

Prof. LUPU DORIN
Colegiul National “Doamna Stanca”
Fagaras Jud. Brasov