Poate ne explicati si noua cum se rezolva exercitiul 2 de la subiectul II. Multumim!

Sunt foarte curios sa aflu cum au rezolvat exercitiul de care am amintit mai sus (mesajul anterior) cei care au dat like la acest material!

"The equality 0.999... = 1 has long been accepted by mathematicians and is part of general mathematical education. Nonetheless, some students find it sufficiently counterintuitive that they question or reject it, commonly enough that the difficulty of convincing them of the validity of this identity has been the subject of numerous studies in mathematics education." - citat din http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

În membrul stâng avem 7.
7=6,(x) , prin urmare x=9.

"The equality 0.999... = 1 has long been accepted by mathematicians and is part of general mathematical education. Nonetheless, some students find it sufficiently counterintuitive that they question or reject it, commonly enough that the difficulty of convincing them of the validity of this identity has been the subject of numerous studies in mathematics education." - citat din http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

În membrul stâng avem 7.
7=6,(x) , prin urmare x=9.

Prin urmare, in gimnaziu, putem vorbi de 9 periodic, stimata colega ???? Sau poate va ganditi ca in clasa a VIII-a se fac si limite ???

Dar la liceu acceptăm că 0,(9)=1? Dacă da, atunci trebuie să-l acceptăm și la gimnaziu. Eu personal nu-mi amintesc ca în vreo prezentare a unei fracții de tipul a,(b) să fie pusă condiția b diferit de 9. Poate îmi indicați dumneavoastră o sursă sigură de informare în acest sens. Chiar vreau să mă lămuresc. Vreau să vă spun că eu, atunci când compun un exercițiu care conține numere periodice, evit aceste situații, dar dacă totuși apare undeva, cândva ... , atunci folosesc această regulă. Cel puțin până acum, am procedat așa, poate mă veți lămuri dumneavoastră că e greșit. Deocamdată nu m-ați lămurit. Aștept o trimitere spre o sursă sigură de informare în acest sens pentru că, trebuie să recunosc, mi-am pus și eu această problemă de nenumărate ori.

Stimata colega,
Nu exista nicio fractie ordinara (evident, subunitara si ireductibila) de forma a/b,
astfel incat a/b = 0,(9). Pentru demonstrarea acestui adevar se poate folosi metoda
reducerii la absurd: presupunem ca exista o asemenea fractie si se efectueaza
impartirea a:b. Se obtine, in prima faza catul 0 (partea intreaga a catului) si restul r = a.
Se imparte apoi 10•a la b pentru obtinerea primei zecimale a catului (anume 9) si
acelasi rest r, pentru ca la pasul urmator sa se obtina acelasi cat 9.
In aceste conditii, avem 10•r = 9•b + r (identitatea impartirii cu rest in numere
naturale) si, de aici: 9•r = 9•b < = > r = b; contradictie, caci restul este mai mic decat
impartitorul!
Afirmatia este, deci, adevarata.

Ați demonstrat aici că „Nu exista nicio fractie ordinara (evident, subunitara si ireductibila) de forma a/b, astfel incat a/b = 0,(9).” (citat din comentariul dumneavoastră). Evrika! De fapt ați descoperit că dacă într-adevăr nu există nici una subunitară, atunci o fi cumva una echiunitară??? Ce ziceți de asta? Cred că m-am lămurit. Mulțumesc!!!

Nu mai zic nimic! Ati auzit de lupta cu morile de vant ???

Am auzit: „Cunoscutul personaj a lui Cervantes, Don Quijote de la Mancha a pornit să se lupte cu nişte mori de vânt pe care, în închipuirea lui înfierbântată, le luase drept adversari.” Mă Întreb: chiar am eu vreo legătură cu morile de vânt???..... Domnule profesor, haideți s-o lăsăm așa: eu cu 0,(9)=1 (până mă lămurește cineva că e greșit acest lucru), dumneavoastră cu 0,(9) diferit de 1 (sau cu „nu există 9 în perioadă”). Prea multă înverșunare pentru acest 9 în perioadă.

De acord! Dar logica elementara, a bunului simt, ma face sa afirm ca niciodata 0,999...99... nu este egal cu 1. Oare de ce 0,(8) nu este egal cu 0,9? Sau de ce nu egalam cu 0 pe 0,(1)? Ce mi-e acolo niste zecimi, sutimi, miimi, etc. !!! S-aveti multe succes(uri)e in activitatea dvs, stimata doamna (domnisoara) profesor! Cu respect,

Domnule profesor, vă promit că scriu în acest loc ultimul comentariu. E bine că ați încheiat comentariul anterior cu acel „Cu respect,” pentru că din miezul comentariului acesta, dar și cele anterioare, nu am prea simțit respectul . Suntem totuși colegi, iar eu personal voi împlini în curând 30 de ani - de vechime în învățământ, bineînțeles - mi-ar plăcea tare mult să fie 30 de ani în total (precizarea asta este pentru a ne mai descreți frunțile și pentru a întrevedea ce gen de succese mai aștept eu în activitatea legată de școală, că de succesuri, ... nu poate fi vorba).
.... Și acum să trec la partea concretă: vă propun următoarele două exerciții pe care să le rezolvăm prin două căi: una păstrând fracții ordinare, a doua, transformând în numere zecimale și scriind frumușel, termen sub termen, virgulă sub virgulă, ca pentru clasa a V-a, păstrând vreo 5-6 zecimale, restul înlocuite cu „...”. Evident, cred că sunteți de acord că rezultatele trebuie să fie egale.
Exercițiul 1) 1/3 + 2/3 = 3/3 =1 sau 1/3 + 2/3 = 0,(3) + 0,(6) = 0,33333... + 0,66666... = 0,(9) = ?
Exercițiul 2) 1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 1 sau 1/2 + 1/3 + 1/6 =0,5 + 0,(3) + 0,1(6) = 0,50000 + 0,33333... + 0,16666... = 0,(9) =?
Găsiți vreo greșeală de rezolvare?

Pentru ca sunteti (?) femeie si pentru ca ati promis ca „scriu in acest loc ultimul comentariu”, vreau sa fac si eu ultimele doua precizari:
1. - am si eu tot aproape 30 de ani de vechime in invatamant (mai exact 29) si fac tot posibilul sa ma pensionez inainte de ... vreme, fiindca ati observat -cu siguranta- ca scoala e „un cumplit mestesug de tampenie”;
2. - in afara de exercitiul cu pricina din testul d.lui Morariu Mh. si am mai vazut unul pe la profeSSor bujor (de ce doi de S, numai dumnealui stie !!?? E mai smecher?), nu am vazut in cei 29 de ani de activitate exercitii in care sa apara 9 periodic;
3. - sunt autor de culegeri de matematica (am aparute 6 carti) si -credeti-ma- nu am folosit niciodata asa ceva in exercitiile mele, tocmai pentru a evita confuzia si ambiguitatea, iar de-a lungul carierei mele de profesor nu am intalnit in culegerile altor colegi (!?) pacatoasa perioada. Probabil ca dvs., la clasa, le-ati explicat cu tenacitatea care va caracterizeaza, la copilasi (elevi de clasa a V-a, desigur), ca 0,(9) = 1. Eu nu fac asta si nici n-am s-o fac cat mai lucrez in sistem. Fiecare face ce vrea, nu? Chiar in minister... („precizarea asta este pentru a ne mai descreți frunțile”).
Va asigur, din nou, de tot respectul meu si astept o comanda serioasa pentru lucrarile mele (sic!).